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【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方 vol.631
≪大学入試センター試験2019年 数2B 第3問≫ 2020/10/30
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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■ 問題
第3問
初項が3,公比が4の等比数列の初項から第n項までの和をSnとする。また、
数列{Tn}は、初項が-1であり、{Tn}の階差数列が数列{Sn}であるような数列と
する。
(1) S2=[アイ],T2=[ウ]である。
(2) {Sn}と{Tn}の一般項は、それぞれ
Sn=[エ]^[オ]-[カ]
Tn=([キ]^[ク])/[ケ]-n-[コ]/[サ]
である。ただし、[オ]と[ク]については、当てはまるものを、次の{0}~{4}のうち
から一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
{0} n-1 {1} n {2} n+1 {3} n+2 {4} n+3
(3) 数列{an}は、初項が-3であり、漸化式
nan+1=4(n+1)an+8Tn (n=1,2,3,…)
を満たすとする。{an}の一般項を求めよう。
そのために、bn=(an+2Tn)/nにより定められる数列{bn}を考える。{bn}
の初項は[シス]である。
{Tn}は漸化式
Tn+1=[セ]Tn+[ソ]n+[タ] (n=1,2,3,…)
を満たすから、{bn}は漸化式
bn+1=[チ]bn+[ツ] (n=1,2,3,…)
を満たすことがわかる。よって、{bn}の一般項は
bn=[テト]・[チ]^[ナ]-[ニ]
である。ただし、[ナ]については、当てはまるものを、次の{0}~{4}のうちから
一つ選べ。
{0} n-1 {1} n {2} n+1 {3} n+2 {4} n+3
したがって、{Tn},{bn}の一般項から{an}の一般項を求めると
an={[ヌ]([ネ]n+[ノ])[チ]^[ナ]+[ハ]}/[ヒ]
である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1~n]k^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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