【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方 vol.647≪2018年 数2B 第4問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方 vol.647 　　　≪大学入試センター試験2018年 数2B 第4問≫　　　　2020/12/25 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試センター試験の問題を詳細に解説します。 ■　問題 2018年大学入試センター試験数学２Ｂより 第４問 　ａを０＜ａ＜１を満たす定数とする。三角形ＡＢＣを考え、辺ＡＢを１：３に 内分する点をＤ，辺ＢＣをａ：(１－ａ)に内分する点をＥ，直線ＡＥと直線ＣＤの 交点をＦとする。→ＦＡ＝→ｐ，→ＦＢ＝→ｑ，→ＦＣ＝→ｒとおく。 　　 → (1) ＡＢ＝[ア]であり 　　　　→　　　 →　　　　 →　→　 → 　　　|ＡＢ|^2＝|ｐ|^2－[イ]ｐ・ｑ＋|ｑ|^2　……{1} である。ただし、[ア]については、当てはまるものを、次の{0}～{3}のうちから 一つ選べ。 　　→　→　　　　→　→　　　　→　→　　　　　→　→ {0} ｐ＋ｑ　　{1} ｐ－ｑ　　{2} ｑ－ｐ　　{3} －ｐ－ｑ 　　 →　 →　→ (2) ＦＤをｐとｑを用いて表すと 　　　 →　　　　　　　 →　　　　　　　→ 　　　ＦＤ＝([ウ]／[エ])ｐ＋([オ]／[カ])ｑ　……{2} である。 　　　　　　　　　　 →　　 →　 →　 　→ (3) ｓ，ｔをそれぞれＦＤ＝ｓｒ，ＦＥ＝ｔｐとなる実数とする。ｓとｔをａを 用いて表そう。 　 →　　 → 　ＦＤ＝ｓｒであるから、{2}により 　　　→　　　　→　　　　→ 　　　ｑ＝[キク]ｐ＋[ケ]ｓｒ　……{3} 　　　　　　　 →　　 → である。また、ＦＥ＝ｔｐであるから 　　　→　　　　　　　　　　→　　　　　　　　　　　→ 　　　ｑ＝{ｔ／([コ]－[サ])}ｐ－{[シ]／([コ]－[サ])}ｒ　……{4} である。{3}と{4}により 　ｓ＝[スセ]／[ソ]([コ]－[サ])，ｔ＝[タチ]([コ]－[サ]) である。 　　　→　　　→　　　　　 →　　　　　　 →　→ (4) |ＡＢ|＝|ＢＥ|とする。|ｐ|＝１のとき、ｐとｑの内積をａを用いて表そう。 　{1}により 　　　　→　　　　　　　→　→　 → 　　　|ＡＢ|^2＝１－[イ]ｐ・ｑ＋|ｑ|^2 である。また 　　　　→ 　　　|ＢＥ|^2＝[ツ]([コ]－[サ])^2　→　→　 → 　　　　　　　　　＋[テ]([コ]－[サ])ｐ・ｑ＋|ｑ|^2 である。したがって 　　　→　→ 　　　ｐ・ｑ＝([トナ]－[ニ])／[ヌ] である。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、 マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。