【高校数学】読むだけ！共通テスト vol.672≪2021年第1日程 数2B 第4問≫完成

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.672 　　　　　　　≪2021年第1日程 数2B 第4問≫　　　　　2021/3/23 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2021年第１回共通テスト数２Ｂより 第４問 　初項３，公差ｐの等差数列を{ａn}とし、初項３，公比ｒの等比数列を{ｂn}と する。ただし、ｐ≠０かつｒ≠０とする。さらに、これらの数列が次を満たすと する。 　　ａn・ｂn+1－２ａn+1・ｂn＋３ｂn+1＝０　(ｎ＝１，２，３，…)　……{1} (1) ｐとｒの値を求めよう。自然数ｎについて、ａn，ａn+1，ｂnはそれぞれ 　　ａn＝[ア]＋(ｎ－１)ｐ　……{2} 　　ａn+1＝[ア]＋ｎｐ　……{3} 　　ｂn＝[イ]ｒ^(n-1) と表される。ｒ≠０により、すべての自然数ｎについて、ｂn≠０となる。 ｂn+1／ｂn＝ｒであることから、{1}の両辺をｂnで割ることにより 　　[ウ]ａn+1＝ｒ(ａn＋[エ])　……{4} が成り立つことがわかる。{4}に{2}と{3}を代入すると 　　(ｒ－[オ])ｐｎ＝ｒ(ｐ－[カ])＋[キ]　……{5} となる。{5}がすべてのｎで成り立つことおよびｐ≠０により、ｒ＝[オ]を得る。 さらに、このことから、ｐ＝[ク]を得る。 　以上から、すべての自然数ｎについて、ａnとｂnが正であることがわかる。 (2) ｐ＝[ク]，ｒ＝[オ]であることから、{ａn}，{ｂn}の初項から第ｎ項までの 和は、それぞれ次の式で与えられる。 　　Σ[k=1～n]ａk＝([ケ]／[コ])ｎ(ｎ＋[サ]) 　　Σ[k=1～n]ｂk＝[シ]([オ]^n－[ス]) (3) 数列{ａn}に対して、初項３の数列{ｃn}が次を満たすとする。 　　ａn・ｃn+1－４ａn+1・ｃn＋３ｃn+1＝０　(ｎ＝１，２，３，…)　……{6} 　ａnが正であることから、{6}を変形して、ｃn+1＝{([セ]ａn+1)／(ａn＋[ソ])}ｃn を得る。 さらに、ｐ＝[ク]であることから、数列{ｃn}は[タ]ことがわかる。 [タ]の解答群 ―――――――――――――――――――― ｜{0} すべての項が同じ値をとる数列である｜ ｜{1} 公差が０でない等差数列である　　　｜ ｜{2} 公比が１より大きい等比数列である　｜ ｜{3} 公比が１より小さい等比数列である　｜ ｜{4} 等差数列でも等比数列でもない　　　｜ ―――――――――――――――――――― (4) ｑ，ｕは定数で、ｑ≠０とする。数列{ｂn}に対して、初項３の数列{ｄn}が 次を満たすとする。 　　ｄn・ｂn+1－ｑ・ｄn+1・ｂn＋ｕ・ｂn+1＝０　(ｎ＝１，２，３，…)　……{7} 　ｒ＝[オ]であることから、{7}を変形して、ｄn+1＝([チ]／ｑ)(ｄn＋ｕ)を得る。 したがって、数列{ｄn}が、公比が０より大きく１より小さい等比数列となるための 必要十分条件は、ｑ＞[ツ]かつｕ＝[テ]である。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。