【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.703≪2020年 数2B 第3問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.703 　　　≪大学入試センター試験2020年 数2B 第3問≫　　　　2021/7/9 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試センター試験の問題を詳細に解説します。 ■　問題 第３問 　数列{ａn}は、初項ａ1が０であり、ｎ＝１，２，３，…のとき次の漸化式を 満たすものとする。 　ａn+1＝{(ｎ＋３)／(ｎ＋１)}{３ａn＋３^(n+1)－(ｎ＋１)(ｎ＋２)}……{1} (1) ａ2＝[ア]である。 (2) ｂn＝ａn／{３^n・(ｎ＋１)(ｎ＋２)}とおき、数列{ｂn}の一般項を求めよう。 　{ｂn}の初項ｂ1は[イ]である。{1}の両辺を３^(n+1)・(ｎ＋２)(ｎ＋３)で割ると 　ｂn+1＝ｂn＋[ウ]／{(ｎ＋[エ])(ｎ＋[オ])}－(１／[カ])^(n+1) を得る。ただし[エ]＜[オ]とする。 　したがって 　ｂn+1－ｂn＝[キ]／(ｎ＋[エ])－[キ]／(ｎ＋[カ])－(１／[カ])^(n+1) である。 　ｎを２以上の自然数とするとき 　Σ[k=1～n-1]{[キ]／(ｋ＋[エ])－[キ]／(ｋ＋[オ])} ＝(１／[ク]){(ｎ－[ケ])／(ｎ＋[コ])} 　Σ[k=1～n-1](１／[カ])^(k+1) ＝[サ]／[シ]－([ス]／[セ])(１／[カ])^n が成り立つことを利用すると 　ｂn＝(ｎ－[ソ])／{[タ](ｎ＋[チ])}＋([ス]／[セ])(１／[カ])^n が得られる。これはｎ＝１のときも成り立つ。 (3) (2)により、{ａn}の一般項は 　ａn＝[ツ]^(n-[テ])・(ｎ^2－[ト])＋{(ｎ＋[ナ])(ｎ＋[ニ])}／[ヌ] で与えられる。ただし、[ナ]＜[ニ]とする。 　このことから、すべての自然数ｎについて、ａnは整数となることがわかる。 (4) ｋを自然数とする。ａ3k，ａ3k+1，ａ3k+2を３で割った余りはそれぞれ[ネ]， [ノ]，[ハ]である。また、{ａn}の初項から第2020項までの和を３で割った余りは [ヒ]である。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、 一般項ｎ^2の初項から第ｎ項までの数列の和はΣ[k=1～n]ｋ^2、マル１は{1}、 マーク部分の□は[ ]で表記しています。