【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.714≪2019年 数2B 第2問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.714 　　　≪大学入試センター試験2019年 数2B 第2問≫　　　　2021/8/17 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テスト・センター試験の問題を詳細に解説します。 ■　問題 第２問 　ｐ，ｑを実数とし、関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘはｘ＝－１で極値２を とるとする。また、座標平面上の曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をＣ，放物線ｙ＝－ｋｘ^2をＤ， 放物線Ｄ上の点(ａ，－ｋａ^2)をＡとする。ただし、ｋ＞０，ａ＞０である。 (1) 関数ｆ(ｘ)がｘ＝－１で極値をとるので、ｆ'(－１)＝[ア]である。これと ｆ(－１)＝２より、ｐ＝[イ]，ｑ＝[ウエ]である。よって、ｆ(ｘ)はｘ＝[オ]で 極小値[カキ]をとる。 (2) 点Ａにおける放物線Ｄの接線をｌとする。Ｄとｌおよびｘ軸で囲まれた図形の 面積Ｓをａとｋを用いて表そう。 　ｌの方程式は 　　ｙ＝[クケ]ｋａｘ＋ｋａ^[コ]　……{1} と表せる。ｌとｘ軸の交点のｘ座標は[サ]／[シ]であり、Ｄとｘ軸および直線 ｘ＝ａで囲まれた図形の面積は(ｋ／[ス])ａ^[セ]である。よって、 Ｓ＝(ｋ／[ソタ])ａ^[セ]である。 (3) さらに、点Ａが曲線Ｃ上にあり、かつ(2)の接線ｌがＣにも接するとする。 このときの(2)のＳの値を求めよう。 　ＡがＣ上にあるので、ｋ＝[チ]／[ツ]－[テ]である。 　ｌとＣの接点のｘ座標をｂとすると、ｌの方程式はｂを用いて 　　ｙ＝[ト](ｂ^2－[ナ])ｘ－[ニ]ｂ^3　……{2} と表される。{2}の右辺をｇ(ｘ)とおくと 　　ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝(ｘ－[ヌ])^2・(ｘ＋[ネ]ｂ) と因数分解されるので、ａ＝－[ネ]ｂとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較 することにより、ａ^2＝[ノハ]／[ヒ]である。 　したがって、求めるＳの値は[フ]／[ヘホ]である。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して います。 　ｌの方程式は 　　ｙ＝[クケ]ｋａｘ＋ｋａ^[コ]　……{1}