【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.718≪2019年 数2B 第4問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.718 　　　≪大学入試センター試験2019年 数2B 第4問≫　　　　2021/8/31 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テスト・センター試験の問題を詳細に解説します。 ■　問題 2019年大学入試センター試験数学２Ｂより 第４問 　四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣＤを考える。四角形ＡＢＣＤは、 辺ＡＤと辺ＢＣが平行で、ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤを満たすとする。 　　　　 →　 →　 →　 →　 →　 → さらに、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとして 　　 →　　　　→　　　　　→ 　　|ａ|＝１，|ｂ|＝√３，|ｃ|＝√５ 　　→　→　　　→　→　　　→　→ 　　ａ・ｂ＝１，ｂ・ｃ＝３，ａ・ｃ＝０ であるとする。 (1) ∠ＡＯＣ＝[アイ]°により、三角形ＯＡＣの面積は√[ウ]／[エ]である。 　　 →　　→　　　　　　 →　　　　　　　→ (2) ＢＡ・ＢＣ＝[オカ]，|ＢＡ|＝√[キ]，|ＢＣ|＝√[ク]であるから、 ∠ＡＢＣ＝[ケコサ]°である。さらに、辺ＡＤと辺ＢＣが平行であるから、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　　　　　→ ∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝[シス]°である。よって、ＡＤ＝[セ]・ＢＣであり 　　 →　 →　　　　→　　　　→ 　　ＯＤ＝ａ－[ソ]・ｂ＋[タ]・ｃ と表される。また、四角形ＡＢＣＤの面積は([チ]√[ツ])／[テ]である。 (3) 三角形ＯＡＣを底面とする三角錐ＢＯＡＣの体積Ｖを求めよう。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　 →　 →　 → 　３点Ｏ，Ａ，Ｃの定める平面α上に、点ＨをＢＨ⊥ａとＢＨ⊥ｃが成り立つ 　　　　　　　→ ようにとる。|ＢＨ|は三角錐ＢＯＡＣの高さである。Ｈはα上の点であるから、 　　　　　　　　　 →　　　 →　　　→ 実数ｓ，ｔを用いてＯＨ＝ｓ・ａ＋ｔ・ｃの形に表される。 　 →　 →　　　　 →　 → 　ＢＨ・ａ＝[ト]，ＢＨ・ｃ＝[ト]により、ｓ＝[ナ]，ｔ＝[ニ]／[ヌ]である。 　　　　　→ よって、|ＢＨ|＝√[ネ]／[ノ]が得られる。したがって、(1)により、 Ｖ＝[ハ]／[ヒ]であることがわかる。 (4) (3)のＶを用いると、四角錐ＯＡＢＣＤの体積は[フ]Ｖと表せる。さらに、 四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣの高さは√[ヘ]／[ホ]である。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、 マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。