【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.729≪2021年第1日程 数2B 第5問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.729 　　　　　　　≪2021年第1日程 数2B 第5問≫　　　　　2021/10/8 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2021年第１回共通テスト数２Ｂより 第５問 　１辺の長さが１の正五角形の対角線の長さをαとする。 (1) １辺の長さが１の正五角形ＯＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ2を考える。 図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2021math2b_5a.png 　∠Ａ1Ｃ1Ｂ1＝[アイ]°，∠Ｃ1Ａ1Ａ2＝[アイ]°となることから、→Ａ1Ａ2と →Ｂ1Ｃ1は平行である。ゆえに 　　→Ａ1Ａ2＝[ウ]・→Ｂ1Ｃ1 であるから 　　→Ｂ1Ｃ1＝(１／[ウ])・→Ａ1Ａ2＝(１／[ウ])(→ＯＡ2－→ＯＡ1) 　また、→ＯＡ1と→Ａ2Ｂ1は平行で、さらに、→ＯＡ2と→Ａ1Ｃ1も平行である ことから 　　→Ｂ1Ｃ1＝→Ｂ1Ａ2＋→Ａ2Ｏ＋→ＯＡ1＋→Ａ1Ｃ1 　　　　　　＝－[ウ]・→ＯＡ1－→ＯＡ2＋→ＯＡ1＋[ウ]・→ＯＡ2 　　　　　　＝([エ]－[オ])(→ＯＡ2－→ＯＡ1) となる。したがって 　　１／[ウ]＝[エ]－[オ] が成り立つ。ａ＞０に注意してこれを解くと、ａ＝(１＋√５)／２を得る。 (2) 下の図のような、１辺の長さが１の正十二面体を考える。正十二面体とは、 どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている へこみのない多面体のことである。 図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2021math2b_5b.png 　面ＯＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ2に着目する。→ＯＡ1と→Ａ2Ｂ1が平行であることから 　　→ＯＢ1＝→ＯＡ2＋→Ａ2Ｂ1＝→ＯＡ2＋[ウ]・→ＯＡ1 である。また 　　|→ＯＡ2－→ＯＡ1|^2＝|→Ａ1Ａ2|^2＝([カ]＋√[キ])／[ク] に注意すると 　　→ＯＡ1・→ＯＡ2＝([ケ]－√[コ])／[サ] を得る。 図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2021math2b_5c.png 　次に、面ＯＡ2Ｂ2Ｃ2Ａ3に着目すると 　　→ＯＢ2＝→ＯＡ3＋[ウ]・→ＯＡ2 である。さらに 　　→ＯＡ2・→ＯＡ3＝→ＯＡ3・→ＯＡ1＝([ケ]－√[コ])／[サ] が成り立つことがわかる。ゆえに 　　→ＯＡ1・→ＯＢ2＝[シ]，→ＯＢ1・→ＯＢ2＝[ス] である。 [シ]，[ス]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ―――――――――――――――――――――――――――――――――― | {0} ０　　{1} １　　{2} －１　　{3] (１＋√５)／２　　　　　　　　　| | {4} (１－√５)／２　　{5} (－１＋√５)／２　　{6} (－１－√５)／２　| | {7} －１／２　　{8} (－１＋√５)／４　　{9} (－１－√５)／４　　　　| ―――――――――――――――――――――――――――――――――― 図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2021math2b_5d.png 　最後に、面Ａ2Ｃ1ＤＥＢ2に着目する。 　　→Ｂ2Ｄ＝[ウ]・→Ａ2Ｃ1＝→ＯＢ1 であることに注意すると、４点Ｏ，Ｂ1，Ｄ，Ｂ2は同一平面上にあり、 四角形ＯＢ1ＤＢ2は[セ]ことがわかる。 [セ]の解答群 ―――――――――――――――――――――――――――――――――― | {0} 正方形である　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　| | {1} 正方形ではないが、長方形である　　　　　　　　　　　　　　　　　| | {2} 正方形ではないが、ひし形である　　　　　　　　　　　　　　　　　| | {3} 長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である　　　　　　　　　　| | {4} 平行四辺形ではないが、台形である　　　　　　　　　　　　　　　　| | {5} 台形でない　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　| ―――――――――――――――――――――――――――――――――― ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。