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【高校数学】読むだけでわかる!共通テストの考え方 vol.738
≪大学入試センター試験2020年 数2B 第2問≫ 2021/11/9
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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■ 問題
2020年大学入試センター試験数学2B第2問より
第2問
a>0とし、f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1とおく。座標平面上で、
放物線y=x^2+2x+1をC,放物線y=f(x)をDとする。また、lをCとD
の両方に接する直線とする。
(1) lの方程式を求めよう。
lとCは点(t,t^2+2t+1)において接するとすると、lの方程式は
y=([ア]t+[イ])x-t^2+[ウ] ……{1}
である。また、lとDは点(s,f(s))において接するとすると、lの方程式は
y=([エ]s-[オ]a+[カ])x-s^2+[キ]a^2+[ク] ……{2}
である。ここで、{1}と{2}は同じ直線を表しているので、t=[ケ],s=[コ]aが
成り立つ。
したがって、lの方程式はy=[サ]x+[シ]である。
(2) 2つの放物線C,Dの交点のx座標は[ス]である。
Cと直線l,および直線x=[ス]で囲まれた図形の面積をSとすると、
S=(a^[セ])/[ソ]である。
(3) a≧1/2とする。二つの放物線C,Dと直線lで囲まれた図形の中で
0≦x≦1を満たす部分の面積Tは,a>[タ]のとき、aの値によらず
T=[チ]/[ツ]
であり、1/2≦a≦[タ]のとき
T=-[テ]a^3+[ト]a^2-[ナ]a+[ニ]/[ヌ]
である。
(4) 次に、(2), (3)で定めたS,Tに対して、U=2T-3Sとおく。aが
1/2≦a≦[タ]の範囲を動くとき、Uはa=[ネ]/[ノ]で最大値[ハ]/[ヒフ]を
とる。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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