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【高校数学】読むだけでわかる!共通テストの考え方 vol.753
≪2021年第1回 数1A 第4問≫ 2021/12/31/
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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■ 問題
2021年第1日程共通テスト数1Aより
第4問
円周上に15個の点P0,P1,…,P14が反時計回りに順に並んでいる。最初、
点P0に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先の
点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。この
操作を繰り返す。例えば、石が点P5にあるとき、さいころを投げて6の目が出たら
石を点P10に移動させる。次に、5の目が出たら点P10にある石を点P7に移動
させる。
(1) さいころを5回投げて、偶数の目が[ア]回、奇数の目が[イ]回出れば、点P0に
ある石を点P1に移動させることができる。このとき、x=[ア],y=[イ]は、
不定方程式5x-3y=1の整数解になっている。
(2) 不定方程式
5x-3y=8 ……{1}
のすべての整数解x,yは、kを整数として
x=[ア]×8+[ウ]k,y=[イ]×8+[エ]k
と表される。{1}の整数解x,yの中で、0≦y<[エ]を満たすものは
x=[オ],y=[カ]
である。したがって、さいころを[キ]回投げて、偶数の目が[オ]回、奇数の目が
[カ]回出れば、点P0にある石を点P8に移動させることができる。
(3) (2)において、サイコロを[キ]回より少ない回数だけ投げて、点P0にある石を
点P8に移動させることはできないだろうか。
(*) 石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると元の点に
戻る。
(*)に注意すると、偶数の目が[ク]回、奇数の目が[ケ]回出れば、さいころを
投げる回数が[コ]回出、点P0にある石を点P8に移動させることができる。
このとき[コ]<[キ]である。
(4) 点P1,P2,…,P14のうちから点を一つ選び、点P0にある石をさいころを
何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを投げる
最小回数を考える。例えば、さいころを1回だけ投げて点P0にある石を点P2に
へ移動させることはできないが、サイコロを2回投げて偶数の目と奇数の目が1回
ずつ出れば、点P0にある石を点P2へ移動させることができる。したがって、点P2
を選んだ場合はこの最小回数は2回である。
点P1,P2,…,P14のうち、この最小回数が最も大きいのは点[サ]であり、
その最小回数は[シ]回である。
[サ]の解答群
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|{0} P10 {1} P11 {2} P12 {3} P13 P14 |
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※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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