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【高校数学】読むだけでわかる!共通テストの考え方 vol.766
≪2022年 数2B 第1問[1]≫ 2022/2/15
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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■ 問題
2022年共通テスト数2Bより
第1問
[1] 座標平面上に点A(-8,0)をとる。また、不等式
x^2+y^2-4x-10y+4≦0
の表す領域をDとする。
(1) 領域Dは、中心が点([ア],[イ]),半径が[ウ]の円の[エ]である。
[エ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
|{0} 周 {1} 内部 {2} 外部 |
|{3} 周および内部 {4} 周および外部|
└――――――――――――――――――┘
以下、点([ア],[イ])をQとし、方程式
x^2+y^2-4x-10y+4=0
の表す図形をCとする。
(2) 点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
(i) (1)により、直線y=[オ]は点Aを通るCの接線の一つとなることがわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。
┌――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:直線lの方程式はy=k(x+8)と表すことができるから、|
| これを |
| x^2+y^2-4x-10y+4=0 |
| に代入することで接線を求められそうだね。 |
|花子:x軸と直線AQのなす角のタンジェントに注目することでも|
| 求められそうだよ。 |
└――――――――――――――――――――――――――――――┘
(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。
y=k(x+8)をx^2+y^2-4x-10y+4=0に代入すると、xについて
の2次方程式
(k^2+1)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0
が得られる。この方程式が[カ]のときのkの値が接線の傾きとなる。
[カ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――┐
|{0} 重解をもつ |
|{1} 異なる二つの実数解をもち、一つは0である|
|{2} 異なる二つの正の実数解をもつ |
|{3} 正の実数解と負の実数解をもつ |
|{4} 異なる二つの負の実数解をもつ |
|{5} 異なる二つの虚数解をもつ |
└――――――――――――――――――――――┘
(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。
x軸と直線AQのなす角θ(0<θ≦π/2)とすると
tanθ=[キ]/[ク]
であり、直線y=[オ]と異なる接線の傾きはtan[ケ]と表すことができる。
[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
|{0} θ {1} 2θ {2} (θ+π/2) |
|{3} (θ-π/2) {4} (θ+π) {5} (θ-π)|
|{6} (2θ-π/2) {7} (2θ-π/2) |
└――――――――――――――――――――――――┘
(iv) 点Aを通るCの接線のうち、直線y=[オ]と異なる接線の傾きをk0とする。
このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより
k0=[コ]/[サ]
であることがわかる。
直線lと領域Dが共有点を持つようなkの値の範囲は[シ]である。
[シ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
|{0} k>k0 {1} k≧k0 |
|{2} k<k0 {3} k≦k0 |
|{4} 0<k<k0 {5} 0≦k≦k0 |
└――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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