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【高校数学】読むだけでわかる!共通テストの考え方 vol.770
≪2022年 数1A 第2問[1]≫ 2022/3/1
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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■ 問題
2022年共通テスト数1Aより
第2問
[1] p,qを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。
x^2+px+q=0 ……{1}
x^2+qx+p=0 ……{2}
{1}または{2}を満たす実数xの個数をnとおく。
(1) p=4,q=-4のとき、n=[ア]である。
また、p=1,q=-2のときn=[イ]である。
(2) p=-6のとき、n=3になる場合を考える。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|花子:例えば、{1}と{2}をともに満たす実数xがあるときはn=3に|
| なりそうだね。 |
|太郎:それをαとしたら、α^2-6α+q=0とα^2+qα-6=0|
| が成り立つよ。 |
|花子:なるほど。それならば、α^2を消去すれば、αの値が求められ|
| そうだね。 |
|太郎:確かにαの値が求まるけど、実際にn=3となっているかどう|
| かの確認が必要だね。 |
|花子:これ以外にもn=3となる場合がありそうだね。 |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
n=3となるqの値は
q=[ウ],[エ]
である。ただし、[ウ]<[エ]とする。
(3) 花子さんと太郎さんは、グラフ表示ソフトを用いて、{1},{2}の左辺をyと
おいた2次関数y=x^2+px+qとy=x^2+qx+pのグラフの動きを考えて
いる。
p=-6に固定したまま、qの値だけを変化させる。
y=x^2-6x+q ……{3}
y=x^2+qx-6 ……{4}
の二つのグラフについて、q=1のときのグラフを点線で、qの値を1から増加
させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき、{3}のグラフの移動の様子を
示すと[オ]となり、{4}のグラフの移動の様子を示すと[カ]となる。
[オ],[カ]については、最も適当なものを、次の{0}~{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じ物を繰り返し選んでもよい。なお、x軸とy軸は省略しているが、
x軸は右方向、y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。
グラフはこちら→
http://www.a-ema.com/img/2022math1a21a.png
(4) [ウ]<q<[エ]とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合
A,Bを
A={x|x^2-6x+q<0}
B={x|x^2+qx-6<0}
_
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合をXと表す。このとき次のことが
成り立つ。
・x∈Aは、x∈Bであるための[キ]。
_
・x∈Bは、x∈Aであるための[ク]。
[キ],[ク]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 必要条件であるが、十分条件ではない |
|{1} 十分条件であるが、必要条件ではない |
|{2} 必要十分条件である |
|{3} 必要条件でも十分条件でもない |
└――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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