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【高校数学】読むだけでわかる!共通テストの考え方 vol.788
≪2022年第1回 数1A 第4問≫ 2022/5/3
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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■ 問題
2022年共通テスト数1Aより
第4問
(1) 5^4=625を2^4で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式
5^4・x-2^4・y=1 ……{1}
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x=[ア],y=[イウ]
であることがわかる。
また、{1}の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
x=[エオ],y=[カキク]
である。
(2) 次に、625^2を5^5で割ったときの余りと、2^5で割ったときの余りに
ついて考えてみよう。
まず
625^2=5^[ケ]
であり、また、m=[イウ]とすると
625^2=2^[ケ]・m^2+2^[コ]・m+1
である。これらより、625^2を5^5で割ったときのあまりと、2^5で割った
ときの余りがわかる。
(3) (2)の考察は、不定方程式
5^5・x-2^5・y=1 ……{2}
の整数解を調べるために利用できる。
x,yを{2}の整数解とする。5^5・xは5^5の倍数であり、2^5で割ったときの
余りは1となる。よって、(2)により、5^5・x-625^2は5^5でも2^5でも
割り切れる。5^5と2^5は互いに素なので、5^5・x-625^2は5^5・2^5の
倍数である。
このことから、{2}の整数解のうち、xが3桁の正の整数で最小になるのは
x=[サシス],y=[セソタチツ]
であることがわかる。
(4) 11^4を2^4で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式
11^5・x-2^5・y=1の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
x=[テト],y=[ナニヌネノ]
である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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