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【高校数学】読むだけでわかる!共通テストの考え方 vol.854
≪2022年 数2B 第1問[2]≫ 2022/12/20
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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■ 問題
2022年共通テスト数2Bより
第1問
[2] a,bは正の実数であり、a≠1,b≠1を満たすとする。太郎さんは
log[a]bとlog[b]aの大小関係を調べることにした。
(1) 太郎さんは次のような考察をした。
まず、log[3]9=[ス],log[9]3=1/[ス]である。この場合
log[3]9>log[9]3
が成り立つ。
一方、log[1/4][セ]=-3/2,log[セ](1/4)=-2/3である。
この場合
log[1/4][セ]<log[セ](1/4)
が成り立つ。
(2) ここで
log[a]b=t ……{1}
とおく。
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しい
ことを確かめることにした。
log[b]a=1/t ……{2}
{1}により、[ソ]である。このときにより[タ]が得られ、{2}が成り立つことが
確かめられる。
[ソ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
|{0} a^b=t {1} a^t=b {2} b^a=t |
|{3} b^t=a {4} t^a=b {5} t^b=a |
└―――――――――――――――――――――――┘
[タ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} a=t^(1/b) {1} a=b^(1/t) {2} b=t^(1/a) |
|{3} b=a^(1/t) {4} t=b^(1/a) {5} t=a^(1/b) |
└―――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) 次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして
t>1/t ……{3}
を満たす実数t(t≠0)の値の範囲を求めた。
┌―太郎さんの考察―――――――――――――――――――――――――┐
| t>0ならば、{3}の両辺にtを掛けることにより、t^2>1を得る。 |
|このようなt(t>0)の値の範囲は1<tである。 |
| t<0ならば、{3}の両辺にtを掛けることにより、t^2<1を得る。 |
|このようなt(t<0)の値の範囲は-1<t<0である。 |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
この考察により、{3}を満たすt(t≠0)の値の範囲は
-1<t<0,1<tであることがわかる。
ここで、aの値を一つ定めたとき、不等式
log[a]b>log[b]a ……{4}
を満たす実数b(b>0,b≠1)の値の範囲について考える。
{4}を満たすbの値の範囲はa>1のときは[チ]であり、0<a<1のときは
[ツ]である。
[チ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 0<b<1/a,1<b<a {1} 0<b<1/a,a<b |
|{2} 1/a<b<1,1<b<a {3} 1/a<b<1,a<b |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 0<b<a,1<b<1/a {1} 0<b<a,1/a<b |
|{2} a<b<1,1<b<1/a {3} a<b<1,1/a<b |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
(4) p=12/13,q=12/11,r=14/13とする。
次の{0}~{3}のうち、正しいものは[テ]である。
[テ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} log[p]q>log[q]pかつlog[p]r>log[r]p |
|{1} log[p]q>log[q]pかつlog[p]r<log[r]p |
|{2} log[p]q<log[q]pかつlog[p]r>log[r]p |
|{3} log[p]q<log[q]pかつlog[p]r<log[r]p |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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