【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.887≪2023年 数2B 第4問≫完成

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.887 　　　　　　　≪2023年 数2B 第4問≫　　　　　2023/4/14 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2023年共通テスト数２Ｂより 第４問 　花子さんは、毎年の始めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を 始める前における花子さんの預金は１０万円である。こごて、預金とは預金口座に あるお金の額のことである。預金には年利１％で利息がつき、ある年の初めの預金が ｘ万円であれば、その年の終わりには預金は１．０１ｘ万円となる。次の年の初め には１．０１ｘ万円に入金額を加えたものが預金となる。 　毎年の初めの入金額をｐ万円とし、ｎ年目の初めの預金をａn万円とおく。ただし、 ｐ＞０とし、ｎは自然数とする。 　例えば、ａ1＝１０＋ｐ，ａ2＝１．０１(１０＋ｐ)＋ｐである。 http://www.a-ema.com/img/center2023math2b4a.png 参考図 (1) ａnを求めるために二つの方針で考える。 ┌[方針１]――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜　ｎ年目の初めの預金と(ｎ＋１)年目の初めの預金との関係に着目して考える。｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ ３年目の初めの預金ａ3万円について、ａ3＝[ア]である。すべての自然数ｎについて 　　ａn+1＝[イ]ａn＋[ウ] が成り立つ。これは 　　ａn+1＋[エ]＝[オ](ａn＋[エ]) と変形でき、ａnを求めることができる。 [ア]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} １．０１{１．０１(１０＋ｐ)＋ｐ}　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{1} １．０１{１．０１(１０＋ｐ)＋１．０１ｐ}　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{2} １．０１{１．０１(１０＋ｐ)＋ｐ}＋ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{3} １．０１{１．０１(１０＋ｐ)＋ｐ}＋１．０１ｐ　　　　　　　　　　　　｜ ｜{4} １．０１(１０＋ｐ)＋］１．０１ｐ　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{5} １．０１(１０＋１．０１ｐ)＋１．０１ｐ　　　　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [イ]～[オ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} １．０１　　{1} １．０１^(n-1)　　{2} １．０１^n　　　　　　　　　　｜ ｜{3} ｐ　　　　{4} １００ｐ　　　　{5} ｎｐ　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜１００ｎｐ　　{7} １．０１^(n-1)×１００ｐ　　{8} １．０１^n×１００ｐ　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ ┌[方針２]――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜　もともと預金口座にあった１０万円と毎年の始めに入金したｐ万円について、｜ ｜ｎ年目の初めにそれぞれがいくらになるかに着目して考える。　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ 　もともと預金口座にあった１０万円は、２年目の初めには１０×１．０１万円に なり、３年目の初めには１０×１．０１^2万円になる。同様に考えるとｎ年目の初め には１０×１．０１^(n-1)万円になる。 ・１年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはｐ×１．０１^[カ]万円になる。 ・２年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはｐ×１．０１^[キ]万円になる。 　　　　　　・ 　　　　　　・ 　　　　　　・ ・ｎ年目の初めに入金したｐ万円は、ｎ年目の初めにはｐ万円のままである。 　これより 　　ａn＝１０×１．０１^(n-1)＋ｐ×１．０１^[カ]＋ｐ×１．０１^[キ]＋…＋ｐ 　　　 ＝１０×１．０１^(n-1)＋ｐ・Σ[k=1～n]１．０１^[ク] となることがわかる。ここで、Σ[k=1～n]１．０１^[ク]＝[ケ]となるので、ａnを 求めることができる。 [カ]，[キ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｎ＋１　　{1} ｎ　　{2} ｎ－１　　{3} ｎ－２　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ク]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｋ＋１　　{1} ｋ　　{2} ｋ－１　　{3} ｋ－２　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ケ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} １００×１．０１^n　　　　　　{1} １００(１．０１^n－１)　　　　　　｜ ｜{2} １００{１．０１^(n-1)－１}　　{3} ｎ＋１．０１^(n-1)－１　　　　　　｜ ｜{4} ０．０１(１０１ｎ－１)　　　　{5} {ｎ×１．０１^(n-1)}／２　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ (2) 花子さんは、１０年目の終わりの預金が３０万円以上になるための入金額に ついて考えた。 　１０年目の終わりの預金が３０万円以上であることを不等式を用いて表すと [コ]≧３０となる。この不等式をｐについて解くと 　　ｐ≧([サシ]－[スセ]×１．０１^10)／{１０１(１．０１^10－１)} となる。したがって、毎年の初めの入金額が例えば18000円であれば、１０年目の 終わりの預金が３０万円以上になることがわかる。 [コ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ａ10　　　　　　{1} ａ10＋ｐ　　　　　　{2} ａ10－ｐ　　　　　　　　｜ ｜{3} １．０１ａ10　　{4} １．０１ａ10＋ｐ　　{5}１．０１ａ10－ｐ 　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ (3) １年目の入金を始める前における花子さんの預金が１０万円でなく１３万円の 場合を考える。すべての自然数ｎに対して、この場合のｎ年目の初めの預金は ａn万円よりも[ソ]万円多い。なお、年利は１％であり、毎年の初めの入金額は ｐ万円である。 [ソ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ３　　　　　　　　{1} １３　　　　　　　　　　{2} ３(ｎ－１)　　　　｜ ｜{3} ３ｎ　　　　　　　{4} １３(ｎ－１)　　　　　　{5}　１３ｎ　　　　　 ｜ ｜{6} ３^n　　　　　　　{7} ３＋１．０１(ｎ－１)　　{8} ３×１．０１^(n-1)｜ ｜{9} ３×１．０１^n　　{a} １３×１．０１^(n-1)　　{b} １３×１．０１^n　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。