【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.908≪2023年 数2B 第5問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.908 　　　　　　　　　≪2023年 数2B 第5問≫　　　　　2023/6/27 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2023年共通テスト数２Ｂより 第５問 　三角錐ＰＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中点をＭとおく。また、∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ とし、この角度をθとおく。ただし、０°＜θ＜９０°とする。 (1) →ＡＭは 　　→ＡＭ＝([ア]／[イ])・→ＡＢ＋([ウ]／[エ])・→ＡＣ と表せる。また 　　　(→ＡＰ・→ＡＢ)／(|→ＡＰ||→ＡＢ|) 　　＝(→ＡＰ・→ＡＣ)／(|→ＡＰ||→ＡＣ|) 　　＝[オ]　……{1} である。 [オ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｓｉｎθ　　　　　{1} ｃｏｓθ　　　　　{2} ｔａｎθ　　　｜ ｜{3} １／ｓｉｎθ　　　{4} １／ｃｏｓθ　　　{5} １／ｔａｎθ　｜ ｜{6} ｓｉｎ∠ＢＰＣ　　{7} ｃｏｓ∠ＢＰＣ　　{8} ｔａｎ∠ＢＰＣ｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――┘ (2) θ＝４５°とし、さらに 　　|→ＡＰ|＝３√２，|→ＡＢ|＝|→ＰＢ|＝３，|→ＡＣ|＝|→ＰＣ|＝３ が成り立つ場合を考える。このとき 　　→ＡＰ・→ＡＢ＝→ＡＰ・→ＡＣ＝[カ] である。さらに、直線ＡＭ上の点Ｄが∠ＡＰＤ＝９０°を満たしているとする。 このとき→ＡＤ＝[キ]・→ＡＭである。 (3) 　　→ＡＱ＝[キ]・→ＡＭ で定まる点をＱとおく。→ＰＡと→ＰＱが垂直である三角錐ＰＡＢＣはどのような ものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Ｑは点Ｄと一致し、→ＰＡと →ＰＱは垂直である。 (i) →ＰＡと→ＰＱが垂直であるとき、→ＰＱを→ＡＢ，→ＡＣ，→ＡＰを用いて 表して考えると、[ク]が成り立つ。さらに{1}に注意すると、[ク]から[ケ]が成り 立つことがわかる。 　したがって、→ＰＡと→ＰＱが垂直であれば、[ケ]が成り立つ。逆に[ケ]が成り 立てば→ＰＡと→ＰＱは垂直である。 [ク]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝→ＡＰ・→ＡＰ　　　　　　｜ ｜{1} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝－→ＡＰ・→ＡＰ　　　　　｜ ｜{2} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝→ＡＢ・→ＡＣ　　　　　　｜ ｜{3} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝－→ＡＢ・→ＡＣ　　　　　｜ ｜{4} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝０　　　　　　　　　　　　｜ ｜{5} →ＡＰ・→ＡＢ－→ＡＰ・→ＡＣ＝０　　　　　　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ケ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} |→ＡＢ|＋|→ＡＣ|＝√２・|→ＢＣ|　　　　　　　　　　　　｜ ｜{1} |→ＡＢ|＋|→ＡＣ|＝２|→ＢＣ|　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{2} |→ＡＢ|ｓｉｎθ＋|→ＡＣ|ｓｉｎθ＝|→ＡＰ|　　　　　　　｜ ｜{3} |→ＡＢ|ｃｏｓθ＋|→ＡＣ|ｃｏｓθ＝|→ＡＰ|　　　　　　　｜ ｜{4} |→ＡＢ|ｓｉｎθ＝|→ＡＣ|ｓｉｎθ＝２|→ＡＰ|　　　　　　｜ ｜{5} |→ＡＢ|ｃｏｓθ＋|→ＡＣ|ｃｏｓθ＝２|→ＡＰ|　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――┘ (ii) ｋを正の実数とし 　　ｋ・→ＡＰ・→ＡＢ＝→ＡＰ・→ＡＣ が成り立つとする。このとき[コ]が成り立つ。 　また、点Ｂから直線ＡＰに下ろした垂線と直線ＡＰの交点をＢ'とし、同様に 点Ｃから直線ＡＰに下ろした垂線と直線ＡＰの交点をＣ'とする。 　このとき、→ＰＡと→ＰＱが垂直であることは、[サ]であることと同値である。 特にｋ＝１のとき、→ＰＡと→ＰＱか垂直であることは、[シ]であることと同値で ある。 [コ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｋ|→ＡＢ|＝|→ＡＣ|　　{1} |→ＡＢ|＝ｋ|→ＡＣ|　　　　　｜ ｜{2} ｋ|→ＡＰ|＝√２|→ＡＢ|　　{3} ｋ|→ＡＰ|＝√２|→ＡＣ|　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――┘ [サ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} Ｂ'とＣ'がともに線分ＡＰの中点　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{1} Ｂ'とＣ'が線分ＡＰをそれぞれ(ｋ＋１)：１と１：(ｋ＋１)に　｜ ｜　　内分する点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{2} Ｂ'とＣ'が線分ＡＰをそれぞれ１：(ｋ＋１)と(ｋ＋１)：１に　｜ ｜　　内分する点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{3} Ｂ'とＣ'が線分ＡＰをそれぞれｋ：１と１：ｋに内分する点　　｜ ｜{4} Ｂ'とＣ'が線分ＡＰをそれぞれ１：ｋとｋ：１に内分する点　　｜ ｜{5} Ｂ'とＣ'がともに線分ＡＰをｋ：１に内分する点　　　　　　　｜ ｜{6} Ｂ'とＣ'がともに線分ＡＰを１：ｋに内分する点　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――┘ [シ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} △ＰＡＢと△ＰＡＣがともに正三角形　　　　　　　　　　　　｜ ｜{1} △ＰＡＢと△ＰＡＣがそれぞれ∠ＰＢＡ＝９０°，　　　　　　｜ ｜　　∠ＰＣＡ＝９０°を満たす直角二等辺三角形　　　　　　　　　｜ ｜{2} △ＰＡＢと△ＰＡＣがそれぞれＢＰ＝ＢＡ，ＣＰ＝ＣＡを満たす｜ ｜　　二等辺三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{3} △ＰＡＢと△ＰＡＣが合同　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{4} ＡＰ＝ＢＣ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――┘ ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。