【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.913≪2022年 数2B 第1問[1]≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.913 　　　　　　　　　≪2022年 数2B 第1問[1]≫　　　　　　　2023/7/14 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2022年共通テスト数２Ｂより 第１問 [1] 座標平面上に点Ａ(－８，０)をとる。また、不等式 　　ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４≦０ の表す領域をＤとする。 (1) 領域Ｄは、中心が点([ア]，[イ])，半径が[ウ]の円の[エ]である。 [エ]の解答群 ┌――――――――――――――――――┐ ｜{0} 周　　{1} 内部　　{2} 外部　　　｜ ｜{3} 周および内部　　{4} 周および外部｜ └――――――――――――――――――┘ 　以下、点([ア]，[イ])をＱとし、方程式 　　ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４＝０ の表す図形をＣとする。 (2) 点Ａを通る直線と領域Ｄが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。 (i) (1)により、直線ｙ＝[オ]は点Ａを通るＣの接線の一つとなることがわかる。 　太郎さんと花子さんは点Ａを通るＣのもう一つの接線について話している。 　点Ａを通り、傾きがｋの直線をｌとする。 ┌――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜太郎：直線ｌの方程式はｙ＝ｋ(ｘ＋８)と表すことができるから、｜ ｜　　　これを　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜　　　　　ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４＝０　　　　　　　　　｜ ｜　　　に代入することで接線を求められそうだね。　　　　　　　｜ ｜花子：ｘ軸と直線ＡＱのなす角のタンジェントに注目することでも｜ ｜　　　求められそうだよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――┘ (ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。 　ｙ＝ｋ(ｘ＋８)をｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－１０ｙ＋４＝０に代入すると、ｘについて の２次方程式 　(ｋ^2＋１)ｘ^2＋(１６ｋ^2－１０ｋ－４)ｘ＋６４ｋ^2－８０ｋ＋４＝０ が得られる。この方程式が[カ]のときのｋの値が接線の傾きとなる。 [カ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} 重解をもつ　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{1} 異なる二つの実数解をもち、一つは０である｜ ｜{2} 異なる二つの正の実数解をもつ　　　　　　｜ ｜{3} 正の実数解と負の実数解をもつ　　　　　　｜ ｜{4} 異なる二つの負の実数解をもつ　　　　　　｜ ｜{5} 異なる二つの虚数解をもつ　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――┘ (iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。 　ｘ軸と直線ＡＱのなす角θ(０＜θ≦π／２)とすると 　　ｔａｎθ＝[キ]／[ク] であり、直線ｙ＝[オ]と異なる接線の傾きはｔａｎ[ケ]と表すことができる。 [ケ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} θ　　{1} ２θ　　{2} (θ＋π／２)　　　　　｜ ｜{3} (θ－π／２)　　{4} (θ＋π)　　{5} (θ－π)｜ ｜{6} (２θ－π／２)　　{7} (２θ－π／２)　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――┘ (iv) 点Ａを通るＣの接線のうち、直線ｙ＝[オ]と異なる接線の傾きをｋ0とする。 このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより 　　ｋ0＝[コ]／[サ] であることがわかる。 　直線ｌと領域Ｄが共有点を持つようなｋの値の範囲は[シ]である。 [シ]の解答群 ┌――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｋ＞ｋ0　　{1} ｋ≧ｋ0　　　　　｜ ｜{2} ｋ＜ｋ0　　{3} ｋ≦ｋ0　　　　　｜ ｜{4} ０＜ｋ＜ｋ0　　{5} ０≦ｋ≦ｋ0　｜ └――――――――――――――――――┘ ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。