【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.914≪2022年 数2B 第1問[2]≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.914 　　　　　　　≪2022年 数2B 第1問[2]≫　　　　　2023/7/18 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2022年共通テスト数２Ｂより 第１問 [2] ａ，ｂは正の実数であり、ａ≠１，ｂ≠１を満たすとする。太郎さんは ｌｏｇ[a]ｂとｌｏｇ[b]ａの大小関係を調べることにした。 (1) 太郎さんは次のような考察をした。 　まず、ｌｏｇ[3]９＝[ス]，ｌｏｇ[9]３＝１／[ス]である。この場合 　　ｌｏｇ[3]９＞ｌｏｇ[9]３ が成り立つ。 　一方、ｌｏｇ[1/4][セ]＝－３／２，ｌｏｇ[セ](１／４)＝－２／３である。 この場合 　　ｌｏｇ[1/4][セ]＜ｌｏｇ[セ](１／４) が成り立つ。 (2) ここで 　　ｌｏｇ[a]ｂ＝ｔ　　……{1} とおく。 　(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しい ことを確かめることにした。 　　ｌｏｇ[b]ａ＝１／ｔ　　……{2} 　{1}により、[ソ]である。このときにより[タ]が得られ、{2}が成り立つことが 確かめられる。 [ソ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ａ^b＝ｔ　　{1} ａ^t＝ｂ　　{2} ｂ^a＝ｔ　｜ ｜{3} ｂ^t＝ａ　　{4} ｔ^a＝ｂ　　{5} ｔ^b＝ａ　｜ └―――――――――――――――――――――――┘ [タ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ａ＝ｔ^(1/b)　　{1} ａ＝ｂ^(1/t)　　{2} ｂ＝ｔ^(1/a)　｜ ｜{3} ｂ＝ａ^(1/t)　　{4} ｔ＝ｂ^(1/a)　　{5} ｔ＝ａ^(1/b)　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――┘ (3) 次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして 　　ｔ＞１／ｔ　……{3} を満たす実数ｔ(ｔ≠０)の値の範囲を求めた。 ┌―太郎さんの考察―――――――――――――――――――――――――┐ ｜　ｔ＞０ならば、{3}の両辺にｔを掛けることにより、ｔ^2＞１を得る。 ｜ ｜このようなｔ(ｔ＞０)の値の範囲は１＜ｔである。　　　　　　　　　　｜ ｜　ｔ＜０ならば、{3}の両辺にｔを掛けることにより、ｔ^2＜１を得る。 ｜ ｜このようなｔ(ｔ＜０)の値の範囲は－１＜ｔ＜０である。　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――┘ この考察により、{3}を満たすｔ(ｔ≠０)の値の範囲は 　　－１＜ｔ＜０，１＜ｔであることがわかる。 　ここで、ａの値を一つ定めたとき、不等式 　　ｌｏｇ[a]ｂ＞ｌｏｇ[b]ａ　……{4} を満たす実数ｂ(ｂ＞０，ｂ≠１)の値の範囲について考える。 　{4}を満たすｂの値の範囲はａ＞１のときは[チ]であり、０＜ａ＜１のときは [ツ]である。 [チ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ０＜ｂ＜１／ａ，１＜ｂ＜ａ　　{1} ０＜ｂ＜１／ａ，ａ＜ｂ　｜ ｜{2} １／ａ＜ｂ＜１，１＜ｂ＜ａ　　{3} １／ａ＜ｂ＜１，ａ＜ｂ　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ツ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ０＜ｂ＜ａ，１＜ｂ＜１／ａ　　{1} ０＜ｂ＜ａ，１／ａ＜ｂ　｜ ｜{2} ａ＜ｂ＜１，１＜ｂ＜１／ａ　　{3} ａ＜ｂ＜１，１／ａ＜ｂ　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――┘ (4) ｐ＝１２／１３，ｑ＝１２／１１，ｒ＝１４／１３とする。 　次の{0}～{3}のうち、正しいものは[テ]である。 [テ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｌｏｇ[p]ｑ＞ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＞ｌｏｇ[r]ｐ　　　｜ ｜{1} ｌｏｇ[p]ｑ＞ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＜ｌｏｇ[r]ｐ　　　｜ ｜{2} ｌｏｇ[p]ｑ＜ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＞ｌｏｇ[r]ｐ　　　｜ ｜{3} ｌｏｇ[p]ｑ＜ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＜ｌｏｇ[r]ｐ　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――┘ ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。