【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.920≪2022年 数2B 第4問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.920 　　　　　　　≪2022年 数2B 第4問≫　　　　　2023/8/8 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2022年共通テスト数２Ｂより 第４問 　以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。 歩行者と自転車の働きについて、数学的に考えてみよう。 　自宅を原点とする数直線を考えて、歩行者と自転車をその数直線上を動く点と みなす。数直線上の点の座標がｙであるとき、その点は位置ｙにあるということに する。また、歩行者が自宅を出発してからｘ分経過した時点を時刻ｘと表す。 歩行者は時刻０に自宅を出発し、毎分１の速さで歩き始める。自転車は時刻２に 自宅を出発し、毎分２の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、 歩行者と自転車はともに１分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに 毎分１の速さで歩き出し、自転車は毎分２の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に 到着すると、１分だけ停止した後、再び毎分２の速さで歩行者を追いかける。 これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。 　ｘ＝ａnを自転車がｎ回目に自宅を出発する時刻とし、ｙ＝ｂnをそのときの 歩行者の位置とする。 (1) 花子さんと太郎さんは、数列{ａn}，{ｂn}の一般項を求めるために、歩行者と 自転車について、時刻ｘにおいて位置ｙにいることをＯを原点とする座標平面上の 点(ｘ，ｙ)で表すことにした。 グラフ→http://www.a-ema.com/img/2022math2b4a.png 　ａ1＝２，ｂ1＝２により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の 位置を表す点の座標は(２，０)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の 位置は(２，２)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を 表す点の座標は([ア]，[ア])である。よって 　　ａ2＝[イ]，ｂ2＝[ウ] である。 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜花子：数列{ａn}，{ｂn}の一般項について考える前に、([ア]，[ア])の求め方｜ ｜　　　について整理してみようか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜太郎：花子さんはどうやって求めたの？　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜花子：自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が１分間に１ずつ縮まって　｜ ｜　　　いくことを利用したよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜太郎：歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算　｜ ｜　　　して求めることもできるね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ 自転車がｎ回目に自宅を出発するときの時刻と自転車に位置を表す点の座標は (ａn，０)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は(ａn，ｂn)で ある。よって、ｎ回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追いつくときの時刻 と位置を表す点の座標はａn，ｂnを用いて、([エ]，[オ])と表せる。 グラフ→http://www.a-ema.com/img/2022math2b4b.png [エ]，[オ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ┌―――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ａn　　　{1} ｂn　　　{2} ２ａn　　　　　　　　　 ｜ ｜{3} ａn＋ｂn　　　{4} ２ｂn　　　{5} ３ａn　　　　　　｜ ｜{6} ２ａn＋ｂn　　　{7} ａn＋２ｂn　　　{8} ３ｂn　　 ｜ └―――――――――――――――――――――――――――┘ 　以上から、数列{ａn}，{ｂn}について、自然数ｎに対して、関係式 　　ａn+1＝ａn＋[カ]ｂn＋[キ]　……{1} 　　ｂn+1＝３ｂn＋[ク]　……{2} が成り立つことがわかる。まず、ｂ1＝２と{2}から 　　ｂn＝[ケ]　(ｎ＝１，２，３，…) を得る。この結果と、ａ1＝２および{1}から 　　ａn＝[コ]　(ｎ＝１，２，３，…) がわかる。 [ケ]，[コ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ３^(n-1)＋１　　　　　　　　{1} (１／２)・３^n＋１／２　　　 　 ｜ ｜{2} ３^(n-1)＋ｎ　　　　　　　　{3} (１／２)＋ｎ－１／２　　　　　　｜ ｜{4} ３^(n-1)＋ｎ^2　　　　　　　{5} (１／２)・３^n＋ｎ^2－１／２　　｜ ｜{6} ２・３^(n-1)　　　　　　　　{7} (５／２)・３^(n-1)－１／２　　　｜ ｜{8} ２・３^(n-1)＋ｎ－１　　　　{9} (５／２)・３^(n-1)＋ｎ－３／２　｜ ｜{a} ２・３^(n-1)＋ｎ^2－１　　　{b} (５／２)・３^(n-1)＋ｎ^2－３／２｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ (2) 歩行者がｙ＝３００の位置に到着するときまでに、自転車が歩行者に追いつく 回数は[サ]回である。また、[サ]回目に自転車が歩行者に追いつく時刻は ｘ＝[シスセ]である。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。