【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.921≪2022年 数1A 第4問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.921 　　　　　　　≪2022年 数1A 第4問≫　　　　　2023/8/11 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2022年共通テスト数１Ａより 第４問 (1) ５^4＝６２５を２^4で割ったときの余りは１に等しい。このことを用いると、 不定方程式 　　５^4・ｘ－２^4・ｙ＝１　……{1} の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるのは 　　ｘ＝[ア]，ｙ＝[イウ] であることがわかる。 　また、{1}の整数解のうち、ｘが２桁の正の整数で最小になるのは 　　ｘ＝[エオ]，ｙ＝[カキク] である。 (2) 次に、６２５^2を５^5で割ったときの余りと、２^5で割ったときの余りに ついて考えてみよう。 　まず 　　６２５^2＝５^[ケ] であり、また、ｍ＝[イウ]とすると 　　６２５^2＝２^[ケ]・ｍ^2＋２^[コ]・ｍ＋１ である。これらより、６２５^2を５^5で割ったときの余りと、２^5で割ったときの 余りがわかる。 (3) (2)の考察は、不定方程式 　　５^5・ｘ－２^5・ｙ＝１　……{2} の整数解を調べるために利用できる。 　ｘ，ｙを{2}の整数解とする。５^5・ｘは５^5の倍数であり、２^5で割ったときの 余りは１となる。よって、(2)により、５^5・ｘ－６２５^2は５^5でも２^5でも 割り切れる。５^5と２^5は互いに素なので、５^5・ｘ－６２５^2は５^5・２^5の 倍数である。 　このことから、{2}の整数解のうち、ｘが３桁の正の整数で最小になるのは 　　ｘ＝[サシス]，ｙ＝[セソタチツ] であることがわかる。 (4) １１^4を２^4で割ったときの余りは１に等しい。不定方程式 　　１１^5・ｘ－２^5・ｙ＝１の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるのは 　　ｘ＝[テト]，ｙ＝[ナニヌネノ] である。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。