【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.922≪2022年 数2B 第5問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.922 　　　　　　　　　≪2022年 数2B 第5問≫　　　　　2023/8/15 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2022年共通テスト数２Ｂより 第５問 　平面上の点Ｏを中心とする半径１の円周上に、３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、 →ＯＡ・→ＯＢ＝－２／３および→ＯＣ＝－→ＯＡを満たすとする。ｔを ０＜ｔ＜１を満たす実数とし、線分ＡＢをｔ：(１－ｔ)に内分する点をＰとする。 また、直線ＯＰ上に点Ｑをとる。 (1) ｃｏｓ∠ＡＯＢ＝[アイ]／[ウ]である。 　また、実数ｋを用いて、→ＯＱ＝ｋ・→ＯＰと表せる。したがって 　　→ＯＱ＝[エ]・→ＯＡ＋[オ]・→ＯＢ　……{1} 　　→ＣＱ＝[カ]・→ＯＡ＋[キ]・→ＯＢ となる。 　→ＯＡと→ＯＰが垂直となるのは、ｔ＝[ク]／[ケ]のときである。 [エ]～[キ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｋｔ　　{1} (ｋ－ｋｔ)　　{2} (ｋｔ＋１)　　　　　　　　　　　　｜ ｜{3} (ｋｔ－１)　　{4} (ｋ－ｋｔ＋１)　　{5} (ｋ－ｋｔ－１)　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ 　以下、ｔ≠[ク]／[ケ]とし、∠ＯＣＱが直角であるとする。 (2) ∠ＯＣＱが直角であることにより、(1)のｋは 　　ｋ＝[コ]／([サ]ｔ－[シ])　……{2} となることがわかる。 　平面から直線ＯＡを除いた部分は、直線ＯＡを境に二つの部分に分けられる。 そのうち、点Ｂを含む部分をＤ1，含まない部分をＤ2とする。また、平面から 直線ＯＢを除いた部分は、直線ＯＢを境に二つの部分に分けられる。そのうち、 点Ａを含む部分をＥ1，含まない部分をＥ2とする。 ・０＜ｔ＜[ク]／[ケ]ならば、点Ｑは[ス]。 ・[ク]／[ケ]＜ｔ＜１ならば、点Ｑは[セ]。 [ス]，[セ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜　{0} Ｄ1に含まれ、かつＥ1に含まれる　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜　{1} Ｄ1に含まれ、かつＥ2に含まれる　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜　{2} Ｄ2に含まれ、かつＥ1に含まれる　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜　{3} Ｄ2に含まれ、かつＥ2に含まれる　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ (3) 太郎さんと花子さんは、点Ｐの位置と|→ＯＱ|の関係について考えている。 　ｔ＝１／２のとき、{1}と{2}により、|→ＯＱ|＝√[ソ]とわかる。 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜太郎：ｔ≠１／２のときにも、|→ＯＱ|＝√[ソ]となる場合があるかな。　｜ ｜花子：|→ＯＱ|をｔを用いて表して、|→ＯＱ|＝√[ソ]を満たすｔの値に　｜ ｜　　　ついて考えればいいと思うよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜太郎：計算が大変そうだね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜花子：直線ＯＡに関して、ｔ＝１／２のときの点Ｑと対象な点をＲとしたら｜ ｜　　　|→ＯＲ|＝√[ソ]となるよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜太郎：→ＯＲを→ＯＡと→ＯＢを用いて表すことができれば、ｔの値が求め｜ ｜　　　られそうだね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ 　直線ＯＡに関して、ｔ＝１／２のときの点Ｑと対象な点をＲとすると 　　→ＣＲ＝[タ]・→ＣＱ 　　　　　＝[チ]・→ＯＡ＋[ツ]・→ＯＢ となる。 　ｔ≠１／２のとき、|→ＯＱ|＝√[ソ]となるｔの値は[テ]／[ト]である。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。