【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.952≪2023年 数2B 第1問[1]≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.952 　　　　　　　　　≪2023年 数2B 第1問[1]≫　　　　　　　2023/11/28 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2023年共通テスト数２Ｂより 第１問 [1] 三角関数の値の大小関係について考えよう。 (1) ｘ＝π／６のときｓｉｎｘ[ア]ｓｉｎ２ｘであり、ｘ＝(２／３)πのとき ｓｉｎｘ[イ]ｓｉｎ２ｘである。 [ア]，[イ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――┐ ｜　{0} ＜　　　{1} ＝　　　{2} ＞　　　｜ └―――――――――――――――――――┘ (2) ｓｉｎｘとｓｉｎ２ｘの大小関係を詳しく調べよう。 　　ｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ([ウ]ｃｏｓｘ－[エ]) であるから、ｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎｘ＞０が成り立つことは 　「ｓｉｎｘ＞０　かつ　[ウ]ｃｏｓｘ－[エ]＞０」　……{1} または 　「ｓｉｎｘ＜０　かつ　[ウ]ｃｏｓｘ－[エ]＜０」　……{2} が成り立つことと同値である。０≦ｘ≦２πのとき、{1}が成り立つようなｘの値の 範囲は 　　０＜ｘ＜π／[オ] であり、{2}が成り立つようなｘの値の範囲は 　　π＜ｘ＜([カ]／[キ])π である。よって、０≦ｘ≦２πのとき、ｓｉｎ２ｘ＞ｓｉｎｘが成り立つような ｘの値の範囲は 　　０＜ｘ＜π／[オ]，π＜ｘ＜([カ]／[キ])π である。 (3) ｓｉｎ３ｘとｓｉｎ４ｘの値の大小関係を調べよう。 　三角関数の加法定理を用いると、等式 　　ｓｉｎ(α＋β)－ｓｉｎ(α－β)＝２ｃｏｓαｓｉｎβ　……{3} が得られる。α＋β＝４ｘ，α－β＝３ｘを満たすα，βに対して{3}を用いる ことにより、ｓｉｎ４ｘ－ｓｉｎ３ｘ＞０が成り立つことは 　　「ｃｏｓ[ク]＞０　かつ　ｓｉｎ[ケ]＞０]　……{4} または 　　「ｃｏｓ[ク]＜０　かつ　ｓｉｎ[ケ]＜０]　……{5} が成り立つことと同値であることがわかる。 　０≦ｘ≦πのとき、{4}，{5}により、ｓｉｎ４ｘ＞ｓｉｎ３ｘが成り立つような ｘの値の範囲は 　　０＜ｘ＜π／[コ]，([サ]／[シ])π＜ｘ＜([ス]／[セ])π である。 [ク]，[ケ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜　{0} ０　　　　　　{1} ｘ　　　　　　{2} ２ｘ　　　　　{3} ３ｘ　　　｜ ｜　{4} ４ｘ　　　　　{5} ５ｘ　　　　　{6} ６ｘ　　　　　{7} ｘ／２　　｜ ｜　{8} (３／２)ｘ　　{9} (５／２)ｘ　　{a} (７／２)ｘ　　{b} (９／２)ｘ｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ (4) (2), (3)の考察から、０≦ｘ≦πのとき、ｓｉｎ３ｘ＞ｓｉｎ４ｘ＞ｓｉｎ２ｘ が成り立つようなｘの値の範囲は 　　π／[コ]＜ｘ＜π／[ソ]，([ス]／[セ])π＜ｘ＜([タ]／[チ])π であることがわかる。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。