【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.955≪2023年 数1A 第2問[2]≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.955 　　　　　　　　≪2023年 数1A 第2問[2]≫　　　　　　2023/12/8 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2023年共通テスト数１Ａより 第２問 [2] 太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ 高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってホールの 軌道がどう変わるかについて考えている。 　二人は、図１のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんが シュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合に ついて、後の[仮定]を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、 以下では省略する。 図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a22.png ┌[仮定]―――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜・平面上では、ボールを直径０．２の円とする。　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜・リングを真横から見たときの左端を点Ａ(３．８，３)，右端を(４．２，３)と｜ ｜　し、リングの太さは無視する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの｜ ｜　中心がＡＢの中点Ｍ(４，３)を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに｜ ｜　当たるとは、ボールの中心とＡまたはＢの距離が０．１以下になることとする｜ ｜・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Ｐとし、Ｐは、はじめに点｜ ｜　Ｐ0(０，３)にあるものとする。また、Ｐ0，Ｍを通る、上に凸の放物線をＣ1 ｜ ｜　とし、ＰはＣ1上を動くものとする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ ｜・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Ｈとし、Ｈは、はじめに点｜ ｜　Ｈ0(０，２)にあるものとする。また、Ｈ0，Ｍを通る、上に凸の放物線をＣ2 ｜ ｜　とし、ＨはＣ2上を動くものとする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ ｜・放物線Ｃ1やＣ2に対して、頂点のｙ座標を「[シュートの高さ]」とし、頂点の｜ ｜　ｘ座標を「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」とする。　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ (1) 放物線Ｃ1の方程式におけるｘ^2の係数をａとする。放物線Ｃ1の方程式は 　　ｙ＝ａｘ^2－[キ]ａｘ＋[ク] と表すことができる。また、プロ選手の「[シュートの高さ]」は 　　－[ケ]ａ＋[コ] である。 　放物線Ｃ2の方程式におけるｘ^2の係数をｐとする。放物線Ｃ2の方程式は 　　ｙ＝ｐ{ｘ－(２－１／８ｐ)}^2－(１６ｐ－１)^2／６４ｐ＋２ と表すことができる。 　プロ選手と花子さんの[ボールが最も高くなるときの地上の位置]の比較の記述と して、次の{0}～{3}のうち、正しいものは[サ]である。 [サ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} プロ選手と花子さんの「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」は　　｜ ｜　　つねに一致する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{1} プロ選手の「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」の方が、つねに　｜ ｜　　Ｍのｘ座標に近い。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{2} 花子さんの「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」の方が、つねに　｜ ｜　　Ｍのｘ座標に近い。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{3} プロ選手の「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」の方がＭのｘ座標｜ ｜　　に近いときもあれば、花子さんの「[ボールが最も高くなるときの地上の　 ｜ ｜　　位置]」の方がＭのｘ座標に近いときもある。　　　　　　　　　　　　　 ｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ (2) 二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの 「[シュートの高さ]」について次のように話している。 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜太郎：例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Ｐが　｜ ｜　　　リングの左端Ａのどのくらい上を通れば良いのかな。　　　　　　　　　｜ ｜花子：Ａの真上の点でＰが通る点Ｄを、線分ＤＭがＡを中心とする半径０．１の｜ ｜　　　円と接するようにとって考えてみたらどうかな。　　　　　　　　　　　｜ ｜太郎：なるほど。Ｐの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図２の｜ ｜　　　ように、ＰはＤを通った後で線分ＤＭより上側を通るのでボールはリング｜ ｜　　　に当たらないね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜花子：放物線Ｃ1とＣ2がＤを通る場合でプロ選手と私の「[シュートの高さ]」を｜ ｜　　　比べてみようよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ 図２はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a22b.png 　図２のように、Ｍを通る直線ｌが、Ａを中心とする半径０．１の円に直線ＡＢの 上側で接しているとする。また、Ａを通り直線ＡＢに垂直な直線を引き、ｌとの 交点をＤとする。このときＡＤ＝√３／１５である。 　よって、放物線Ｃ2がＤを通るとき、Ｃ1の方程式は 　　ｙ＝－([シ]√[ス]／[セソ])(ｘ^2－[キ]ｘ)＋[ク] となる。 　また、放物線Ｃ2がＤを通るとき、(1)で与えられたＣ2の方程式を用いると、 花子さんの「[シュートの高さ]」は約３．４と求められる。 　以上のことから、放物線Ｃ1とＣ2がＤを通るとき、プロ選手と花子さんの 「[シュートの高さ]」を比べると、[タ]の「[シュートの高さ]」の方が大きく、 その差はボール[チ]である。なお、√３＝1.7320508…である。 [タ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} プロ選手　　{1} 花子さん　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [チ]については、最も適当なものを、次の{0}～{3}のうちから一つ選べ。 ┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} 約１個分　　{1} 約２個分　　{2} 約３個分　　{3} 約４個分　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。