【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.957≪2023年 数2B 第2問[2]≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.957 　　　　　　　　　≪2023年 数2B 第2問[2]≫　　　　　　2023/12/15 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2023年共通テスト数２Ｂより 第２問 [2] (1) 定積分∫[0～30]{(１／５)ｘ＋３}ｄｘの値は[タチツ]である。 　また、関数(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５の不定積分は 　∫{(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５}ｄｘ ＝(１／[テトナ])ｘ^3－(１／[ニヌ])ｘ^2＋[ネ]ｘ＋Ｃ である。ただし、Ｃは積分定数とする。 (2) ある地域では、毎年３月頃「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花予想日」が話題に なる。太郎さんと花子さんは、開花日時を予想する方法の一つに、２月に入ってから の気温を時間の関数とみて、その関数を積分した値をもとにする方法があることを 知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために、二人は図１の６時間ごとの 気温の折れ線グラフを見ながら、次のように考えることにした。 図１はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b22a.png 図１　６時間ごとの気温の折れ線グラフ 　ｘの値の範囲を０以上の実数全体として、２月１日午前０時から２４ｘ時間経った 時点をｘ日後とする。(例えば、１０．３日後は２月１１日午前７時１２分を表す。) また、ｘ日後の気温をｙ℃とする。このとき、ｙはｘの関数であり、これを ｙ＝ｆ(ｘ)とおく。ただし、ｙは負にはならないものとする。 　気温を表す関数ｆ(ｘ)を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の[設定]で 考えることにした。 ┌―[設定]――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜　正の整数ｔに対して、ｆ(ｘ)を０からｔまで積分した値をＳ(ｔ)とする。　　｜ ｜すなわち、Ｓ(ｔ)＝∫[0～t]ｆ(ｘ)ｄｘとする。このＳ(ｔ)が４００に到達した｜ ｜とき、ソメイヨシノが開花する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [設定]のもと、太郎さんは気温を表す関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフを図２のように直線と みなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。 図２はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2023math2b22b.png 図２　図１のグラフと、太郎さんが直線とみなしたｙ＝ｆ(ｘ)のグラフ (i) 太郎さんは 　　ｆ(ｘ)＝(１／５)ｘ＋３　(ｘ≧０) として考えた。このとき、ソメイヨシノの開花日時は２月に入ってから[ノ]となる。 [ノ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ３０日後　　{1} ３５日後　　{2} ４０日後　　｜ ｜{3} ４５日後　　{4} ５０日後　　{5} ５５日後　　｜ ｜{6} ６０日後　　{7} ６５日後　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――┘ (ii) 太郎さんと花子さんは、２月に入ってから３０日後以降の気温について話を している。 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜太郎：１次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。　　　　　｜ ｜花子：気温の上がり方から考えて、２月に入ってから３０日後以降の気温を　｜ ｜　　　表す関数が２次関数の場合も考えてみようか。　　　　　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ 　花子さんは気温を表す関数ｆ(ｘ)を、０≦ｘ≦３０のときは太郎さんと同じように 　　ｆ(ｘ)＝(１／５)ｘ＋３　……{1} とし、ｘ≧３０のときは 　　ｆ(ｘ)＝(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５　……{2} として考えた。なお、ｘ＝３０のとき{1} の右辺の値と{2}の右辺の値は一致する。 花子さんの考えた式を用いて、ソメイヨシノの開花日時を考えよう。(1)より 　　∫[0～30]{(１／５)ｘ＋３)ｄｘ＝[タチツ] であり 　　∫[30～40]{(１／１００)ｘ^2－(１／６)ｘ＋５}ｄｘ＝１１５ となることがわかる。 　また、ｘ≧３０の範囲においてｆ(ｘ)は増加する。よって 　　∫[30～40]ｆ(ｘ)ｄｘ[ハ]∫[40～50]ｆ(ｘ)ｄｘ であることがわかる。以上よりソメイヨシノの開花日時は２月に入ってから[ヒ]と なる。 [ハ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ＜　　{1} ＝　　{2} ＞　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――┘ [ヒ]の解答群 ┌――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ３０日後より前　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{1} ３０日後　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{2} ３０日後より後、かつ４０日後より前　　　　　｜ ｜{3} ４０日後　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{4} ４０日後より後、かつ５０日後より前　　　　　｜ ｜{5} ５０日後　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{6} ５０日後より後、かつ６０日後より前　　　　　｜ ｜{7} ６０日後　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{8} ６０日後より後　　　　　　　　　　　　　　　｜ └――――――――――――――――――――――――┘ ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。