【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.974≪2024年 数2B 第1問[2]≫完成

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.974 　　　　　　　　　≪2024年 数2B 第1問[2]≫　　　　　　　2024/2/13 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2024年共通テスト数２Ｂより 第１問 [2] Ｓ(ｘ)をｘの２次式とする。ｘの整式Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)で割ったときの商を Ｔ(ｘ)，余りをＵ(ｘ)とする。ただし、Ｓ(ｘ)とＰ(ｘ)係数は実数であるとする。 (1) Ｐ(ｘ)＝２ｘ^3＋７ｘ^2＋１０ｘ＋５，Ｓ(ｘ)＝ｘ^2＋４ｘ＋７の場合を 考える。 　方程式Ｓ(ｘ)＝０の解はｘ＝[コサ]±√[シ]ｉである。 　また、Ｔ(ｘ)＝[ス]ｘ－[セ]，Ｕ(ｘ)＝[ソタ]である。 (2) 方程式Ｓ(ｘ)＝０は異なる２つの解α，βをもつとする。このとき 　　Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)で割った余りが定数になる ことと同値な条件を考える。 (i) 余りが定数になるときを考えてみよう。 　仮定から、定数ｋを用いてＵ(ｘ)＝ｋとおける。このとき[チ]したがって、 余りが定数になるとき、[ツ]が成り立つ。 [チ]については、最も適当なものを、次の{0}～{3}のうちから１つ選べ。 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝ｋが成り立つことから、Ｐ(ｘ)＝Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｋ｜ ｜　　となることが導かれる。また、Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝ｋが成り立つこと　｜ ｜　　から、Ｓ(α)＝Ｓ(β)＝０となることが導かれる　　　　　　　　　｜ ｜{1} Ｐ(ｘ)＝Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｋかつＰ(α)＝Ｐ(β)＝ｋが成り立つこと　｜ ｜　　から、Ｓ(α)＝Ｓ(β)＝０となることが導かれる　　　　　　　　　｜ ｜{2} Ｓ(α)＝Ｓ(β)＝０が成り立つことから、Ｐ(ｘ)＝Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｋ｜ ｜　　となることが導かれる。また、Ｓ(α)＝Ｓ(β)＝０が成り立つこと　｜ ｜　　から、Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝ｋとなることが導かれる　　　　　　　　　｜ ｜{3} Ｐ(ｘ)＝Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｋかつＳ(α)＝Ｓ(β)＝０が成り立つこと　｜ ｜　　から、Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝ｋとなることが導かれる　　　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ツ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜　{0} Ｔ(α)＝Ｔ(β)　　　　{1} Ｐ(α)＝Ｐ(β)　　　　　　｜ ｜　{2} Ｔ(α)≠Ｔ(β)　　　　{3} Ｐ(α)＝Ｐ(β)　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――┘ (ii) 逆に[ツ]が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。 Ｓ(ｘ)が２次式であるから、ｍ，ｎを定数としてＵ(ｘ)＝ｍｘ＋ｎとおける。 Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)，Ｔ(ｘ)，ｍ，ｎを用いて表すと、Ｐ(ｘ)＝[テ]となる。この等式の ｘに、α，βをそれぞれ代入すると[ト]となるので、[ツ]とα≠βより[ナ]となる。 以上から余りが定数になることがわかる。 [テ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜　{0} (ｍｘ＋ｎ)Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)　　　{1} Ｓ(ｘ)Ｔ(ｘ)＋ｍｘ＋ｎ　　　｜ ｜　{2} (ｍｘ＋ｎ)Ｓ(ｘ)＋Ｔ(ｘ)　　{3} (ｍｘ＋ｎ)Ｔ(ｘ)＋Ｓ(ｘ)　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ト]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜　{0} Ｐ(α)＝Ｔ(α)　かつ　Ｐ(β)＝Ｔ(β)　　　　　　　　　　　　｜ ｜　{1} Ｐ(α)＝ｍα＋ｎ　かつ　Ｐ(β)＝ｍβ＋ｎ　　　　　　　　　　｜ ｜　{2} Ｐ(α)＝(ｍα＋ｎ)Ｔ(α)　かつ　Ｐ(β)＝(ｍβ＋ｎ)Ｔ(β)　　｜ ｜　{3} Ｐ(α)＝Ｐ(β)＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜　{4} Ｐ(α)≠０　かつ　Ｐ(β)≠０　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [テ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜　{0} ｍ≠０　　　　　　　　　　　{1} ｍ≠０　かつ　ｎ＝０　　　　｜ ｜　{2} ｍ≠０　かつ　ｎ≠０　　　　{3} ｍ＝０　　　　　　　　　　　｜ ｜　{4} ｍ＝ｎ＝０　　　　　　　　　{5} ｍ＝０　かつ　ｎ＝０　　　　｜ ｜　{6} ｎ＝０　　　　　　　　　　　{7} ｎ≠０　　　　　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――┘ 　(i), (ii)の考察から、方程式Ｓ(ｘ)＝０が異なる２つの解α，βをもつとき、 Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)で割った余りが定数になることと[ツ]であることは同値である。 (3) ｐを定数とし、Ｐ(ｘ)＝ｘ^10－２ｘ^9－ｐｘ^2－５ｘ， Ｓ(ｘ)＝ｘ^2－ｘ－２の場合を考える。Ｐ(ｘ)をＳ(ｘ)で割った余りが定数になる とき、ｐ＝[ニヌ]となり、その余りは[ネノ]となる。 ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。