【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.979≪2024年 数2B 第2問≫

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.979 　　　　　　　　　≪2024年 数2B 第2問≫　　　　　　2024/3/1 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2024年共通テスト数２Ｂより 第２問 　ｍをｍ＞１を満たす定数とし、ｆ(ｘ)＝３(ｘ－１)(ｘ－ｍ)とする。また、 Ｓ(ｘ)＝∫[0～x]ｆ(ｔ)ｄｔとする。関数ｙ＝ｆ(ｘ)とｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの関係に ついて考えてみよう。 (1) ｍ＝２のとき、すなわち、ｆ(ｘ)＝３(ｘ－１)(ｘ－２)のときを考える。 　(i) ｆ'(ｘ)＝０となるｘの値はｘ＝[ア]／[イ]である。 　(ii) Ｓ(ｘ)を計算すると 　　Ｓ(ｘ)＝∫[0～x]ｆ(ｔ)ｄｔ 　　　　　＝∫[0～x](３ｔ^2－[ウ]ｔ＋[エ])ｄｔ 　　　　　＝ｘ^3－([オ]／[カ])ｘ^2＋[キ]ｘ であるから ｘ＝[ク]のとき、Ｓ(ｘ)は極大値[ケ]／[コ]をとり ｘ＝[サ]のとき、Ｓ(ｘ)は極小値[シ]をとることがわかる。 (iii) ｆ(３)と一致するものとして、次の{0}～{4}のうち、正しいものは[ス]で ある。 [ス]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} Ｓ(３)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{1} ２点(２，Ｓ(２))，(４，Ｓ(４))を通る直線の傾き　　　　　　　　　　｜ ｜{2} ２点(０，０)，(３，Ｓ(３))を通る直線の傾き　　　　　　　　　　　　｜ ｜{3} 関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフ上の点(３，Ｓ(３))における接線の傾き　　　　｜ ｜{4} 関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフ上の点(３，ｆ(３))における接線の傾き　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ (2) ０≦ｘ≦１の範囲で、関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフとｘ軸およびｙ軸で囲まれた 図形の面積をＳ1，１≦ｘ≦ｍの範囲で、関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフとｘ軸で囲まれた 図形の面積をＳ2とする。このとき、Ｓ1＝[セ]，Ｓ2＝[ソ]である。 　Ｓ1＝Ｓ2となるのは[タ]＝０のときであるから、Ｓ1＝Ｓ2が成り立つようなｆ(ｘ) に対する関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの概形は[チ]である。また、Ｓ1＞Ｓ2が成り立つ ようなｆ(ｘ)に対する関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの概形は[ツ]である。 [セ]，[ソ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ　{1} ∫[0～m]ｆ(ｘ)ｄｘ　{2} ∫[1～m]ｆ(ｘ)ｄｘ｜ ｜{3} ∫[0～1]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ　　{4} ∫[0～m]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ　　　　　　　｜ ｜{5} ∫[1～m]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [タ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ　　{1} ∫[0～m]ｆ(ｘ)ｄｘ　　　　　　　　　　　｜ ｜{2} ∫[1～m]ｆ(ｘ)ｄｘ　　{3} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ－∫[0～m]ｆ(ｘ)ｄｘ　｜ ｜{4} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ－∫[1～m]ｆ(ｘ)ｄｘ　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{5} ∫[0～1]ｆ(ｘ)ｄｘ＋∫[0～m]ｆ(ｘ)ｄｘ　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{6} ∫[0～m)ｆ(ｘ)ｄｘ＋∫[1～m]ｆ(ｘ)ｄｘ　　　　　　　　　　　　　　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [チ]，[ツ]については、最も適当なものを、次の{0}～{5}のうちから１つずつ選べ。 ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。 http://www.a-ema.com/img/2024m2b2.png (3) 関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフの特徴から関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの特徴を考えて みよう。 　関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフは直線ｘ＝[テ]に関して対称であるから、すべての正 の実数ｐに対して 　　∫[1-p～1]ｆ(ｘ)ｄｘ＝[m～[ト]]ｆ(ｘ)ｄｘ　……{1} が成り立ち、Ｍ＝[テ]とおくと０＜ｑ≦Ｍ－１であるすべての実数ｑに対して 　　∫[M-q～M]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ＝∫[M～[ナ]]{－ｆ(ｘ)}ｄｘ　……{2} が成り立つことがわかる。すべての実数α，βに対して 　　∫[α～β]ｆ(ｘ)ｄｘ＝Ｓ(β)－Ｓ(α) が成り立つことに注意すれば、{1}と{2}はそれぞれ 　　Ｓ(１－ｐ)＋Ｓ([ト])＝[ニ] 　　２Ｓ(Ｍ)＝[ヌ] となる。 　以上から、すべての正の実数ｐに対して、２点(１－ｐ，Ｓ(１－ｐ))， ([ト]，Ｓ([ト]))を結ぶ線分の中点についての記述として、後の{0}～{5}のうち、 最も適当なものは[ネ]である。 [テ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｍ　　{1} ｍ／２　　{2} ｍ＋１　　{3} (ｍ＋１)／２　｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ト]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} １－ｐ　　{1} ｐ　　{2} １＋ｐ　　 ｜{3} ｍ－ｐ　　{4} ｍ＋ｐ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ナ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} Ｍ－ｑ　　{1} Ｍ　　{2} Ｍ＋ｑ ｜{3} Ｍ＋ｍ－ｑ　　{4} Ｍ＋ｍ　　{5} Ｍ＋ｍ＋ｑ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ニ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} Ｓ(１)＋Ｓ(ｍ)　　{1} Ｓ(１)＋Ｓ(ｐ)　　{2} Ｓ(１)－Ｓ(ｍ) ｜{3} Ｓ(１)－Ｓ(ｐ)　　{4} Ｓ(ｐ)－Ｓ(ｍ)　　{5} Ｓ(ｍ)－Ｓ(ｐ) └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ヌ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} Ｓ(Ｍ－ｑ)＋Ｓ(Ｍ＋ｍ－ｑ)　　{1} Ｓ(Ｍ－ｑ)＋Ｓ(Ｍ＋ｍ) ｜{2} Ｓ(Ｍ－ｑ)＋Ｓ(Ｍ)　　{3} ２Ｓ(Ｍ－ｑ) ｜{4} Ｓ(Ｍ＋ｑ)＋Ｓ(Ｍ－ｑ)　　{5} Ｓ(Ｍ＋ｍ＋ｑ)＋Ｓ(Ｍ－ｑ) └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ [ネ]の解答群 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｘ座標はｐの値によらず１つに定まり、ｙ座標はｐの値により変わる。 ｜{1} ｘ座標はｐの値により変わり、ｙ座標はｐの値によらず１つに定まる。 ｜{2} 中点はｐの値によらず１つに定まり、関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフ上にある。 ｜{3} 中点はｐの値によらず１つに定まり、関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフ上にある。 ｜{4} 中点はｐの値によって動くが、つねに関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフ上にある。 ｜{5} 中点はｐの値によって動くが、つねに関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフ上にある。 └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。