【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.986≪2024年 数2B 第4問≫完成

□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ 　【高校数学】読むだけでわかる！共通テストの考え方 vol.986 　　　　　　　≪2024年 数2B 第4問≫　　　　　2024/3/26 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 目次・・・■　問題　■　解説目次　■　解答・解説　■　公式　■　解答一覧 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガでは、大学入試共通テストの問題を詳細に解説します。 ■　問題 2024年共通テスト数２Ｂより 第４問 (1) 数列{ａn}が 　　ａn+1－ａn＝１４　(ｎ＝１，２，３，…) を満たすとする。 　ａ1＝１０のとき、ａ2＝[アイ]，ａ3＝[ウエ]である。 　数列{ａn}の一般項は、初項ａ1を用いて 　　ａn＝ａ1＋[オカ](ｎ－１) と表すことができる。 (2) 数列{ｂn}が 　　２ｂn+1－ｂn＋３＝０　(ｎ＝１，２，３，…) を満たすとする。 　数列{ｂn}の一般項は、初項ｂ1を用いて 　　ｂn＝(ｂ1＋[キ])([ク]／[ケ])^(n-1)－[コ] と表すことができる。 (3) 太郎さんは 　　(ｃn＋３)(２ｃn+1－ｃn＋３)＝０　(ｎ＝１，２，３，…)　…{1} を満たす数列{Ｃn}について調べることにした。 (i) ・数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ1＝５のとき、ｃ2＝[サ]である。 ・数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ3＝－３のとき、ｃ2＝[シス]，ｃ1＝[セソ]である。 (ii) 太郎さんは、数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ3＝－３となる場合について考えている。 　ｃ3＝－３のとき、ｃ4がどのような値でも 　　(ｃ3＋３)(２ｃ4－ｃ3＋３)＝０ が成り立つ。 ・数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ3＝－３，ｃ4＝５のとき 　　ｃ1＝[セソ]，ｃ2＝[シス]，ｃ3＝－３，ｃ4＝５，ｃ5＝[タ] である。 ・数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ3＝－３，ｃ4＝８３のとき 　　ｃ1＝[セソ]，ｃ2＝[シス]，ｃ3＝－３，ｃ4＝８３，ｃ5＝[チツ] である。 (iii) 太郎さんは(i)と(ii)から、ｃn＝－３となることがあるかどうかに着目し、 次の[命題Ａ]が成り立つのではないかと考えた。 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜[命題Ａ]　数列{ｃn}が{1}を満たし、ｃ1≠－３であるとする。このとき、　 ｜ ｜　　　　　全ての自然数ｎについてｃn≠－３である。　　　　　　　　　　 ｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ 　[命題Ａ]が真であることを証明するには、[命題Ａ]の過程を満たす数列{ｃn}に ついて、[テ]を示せばよい。 　実際、このようにして[命題Ａ]が真であることを証明できる。 [テ]については、最も適当なものを、次の{0}～{4}のうちから一つ選べ。 ┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐ ｜{0} ｃ2≠－３かつｃ3≠－３であること　　　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{1} ｃ100≠－３かつｃ200≠－３であること　　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{2} ｃ100≠－３ならばｃ101≠－３であること　　　　　　　　　　　　　　｜ ｜{3} ｎ＝ｋのときｃn≠－３が成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１のときも　 ｜ ｜　　ｃn≠－３が成り立つこと　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ ｜{4} ｎ＝ｋのときｃn＝－３が成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１のときも　 ｜ ｜　　ｃn＝－３が成り立つこと　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜ └―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘ (iv) 次の(１), (２)，(３)は、数列{ｃn}に関する命題である。 (１) ｃ1＝３かつｃ100＝－３であり、かつ{1}を満たす数列{ｃn}がある。 (２) ｃ1＝－３かつｃ100＝－３であり、かつ{1}を満たす数列{ｃn}がある。 (３) ｃ1＝－３かつｃ100＝３であり、かつ{1}を満たす数列{ｃn}がある。 (１), (２)，(３)の真偽の組合せとして正しいものは[ト]である。 [ト]の解答群 　　┌―┬―┬―┬―┬―┬―┬―┬―┐ 　　｜０｜１｜２｜３｜４｜５｜６｜７｜ ┌―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┤ ｜１｜真｜真｜真｜真｜偽｜偽｜偽｜偽｜ ├―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┤ ｜２｜真｜真｜偽｜偽｜真｜真｜偽｜偽｜ ├―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┼―┤ ｜３｜真｜偽｜真｜偽｜真｜偽｜真｜偽｜ └―┴―┴―┴―┴―┴―┴―┴―┴―┘ ※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。