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【高校数学】読むだけでわかる!共通テストの考え方 vol.993
≪2024年 数1A 第5問≫ 2024/4/19
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目次・・・■ 問題 ■ 解説目次 ■ 解答・解説 ■ 公式 ■ 解答一覧
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■ 問題
2024年共通テスト数1Aより
第5問
図1のように、平面上に5点A,B,C,D,Eがあり、線分AC,CE,EB,
BD,DAによって、星形の図形ができるときを考える。線分ACとBEの交点を
P,ACとBDの交点をQ,BDとCEの交点をR,ADとCEの交点をS,ADと
BEの交点をTとする。
http://www.a-ema.com/img/2024m1a5_1.png
図1
ここでは
AP:PQ:QC=2:3:3,AT:TS:SD=1:1:3
を満たす星形の図形を考える。
以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
(1) △AQDと直線CEに着目すると
(QR/RD)・(DS/SA)・([ア]/CQ)=1
が成り立つので
QR:RD=[イ]:[ウ]
となる。また、△AQDと直線BEに着目すると
QB:BD=[エ]:[オ]
となる。したがって
BQ:QR:RD=[エ]:[イ]:[ウ]
となることがわかる。
[ア]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} AC {1} AP {2} AQ {3} CP {4} PQ |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 5点P,Q,R,S,Tが同一円周上にあるとし、AC=8であるとする。
(i) 5点A,P,Q,S,Tに着目すると、AT:AS=1:2よりAT=√[カ]
となる。さらに、5点D,Q,R,S,Tに着目するとDR=4√3となることが
わかる。
(ii) 3点A,B,Cを通る円と点Dとの位置関係を、次の[構想]に基づいて調べ
よう。
┌―[構想]―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|線分ACとBDの交点Qに着目し、AQ・CQとBQ・DQの大小を比べる。|
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
まず、AQ・CQ=5・3=15かつBQ・DQ=[キク]であるから
AQ・CQ[ケ]BQ・DQ ……{1}
が成り立つ。また、3点A,B,Cを通る円と直線BDとの交点のうち、Bと異なる
点をXとすると
AQ・CQ[コ]BQ・XQ ……{2}
が成り立つ。{1}と{2}の左辺は同じなので、{1}と{2]の右辺を比べることにより、
XQ[サ]DQが得られる。したがって、点Dは3点A,B,Cを通る円の[シ]にある。
[ケ]~[サ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} < {1} = {2} > |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[シ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} 内部 {1} 周上 {2} 外部 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
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